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Comptes Rendus Physique
Volume 15, n° 2-3
pages 285-296 (février 2014)
Doi : 10.1016/j.crhy.2013.12.004
Une transition liquide–gaz pour des bosons en interaction attractive à une dimension
A liquid–gas transition for bosons with attractive interaction in one dimension
 

Christopher Herzog a, Maxim Olshanii b, Yvan Castin c,
a YITP, Stony Brook University, Stony Brook, NY 11784, USA 
b Department of Physics, University of Massachusetts at Boston, Boston, MA 02125, USA 
c Laboratoire Kastler Brossel, École normale supérieure, CNRS et UPMC, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France 

Auteur correspondant.
Résumé

Nous considérons, en dimension un, une assemblée de N particules quantiques bosoniques interagissant par un potentiel de Dirac attractif, à l'équilibre thermique dans une boîte de quantification de longueur L avec des conditions aux limites périodiques. Pour de grandes valeurs de N , et lorsque L est bien supérieur au diamètre de l'état dimère dans l'espace réel, nous prédisons, par étude numérique et analytique d'un modèle simple mais déduit des premiers principes, que le système présente, à haute température, c'est-à-dire dans le régime non dégénéré, une transition du premier ordre entre deux phases. La phase privilégiée à haute température est un gaz presque pur d'atomes, avec une faible fraction de dimères, et des fractions encore plus faibles de trimères, etc. La phase qui la supplante à moins haute température est un état lié mésoscopique ou macroscopique que nous qualifions de liquide, équivalent quantique du soliton brillant de la théorie de champ classique, et qui renferme toutes les particules du système, à l'exception d'une petite fraction gazeuse composée essentiellement d'atomes.

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Abstract

We consider a one-dimensional system of N bosons interacting via an attractive Dirac delta function potential. We place the bosonic quantum particles at thermal equilibrium in a box of length L with periodic boundary conditions. At large N and for L much larger than the diameter of a two-particle bound state, we predict by numerical and analytical studies of a simple model derived from first principles that the system exhibits a first-order phase transition in a high temperature, non-degenerate regime. The higher-temperature phase is an almost pure atomic gas, with a small fraction of dimers, a smaller fraction of trimers, etc. The lower-temperature phase is a mesoscopic or macroscopic bound state that collects all the particles of the system, with the exception of a small gaseous fraction composed mainly of atoms. We term this phase, which is the quantum equivalent of the classical bright soliton, a liquid.

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Mots-clés : Gaz de bosons unidimensionnel, Soliton brillant, Liquide quantique, Atomes froids

Keywords : One-dimensional Bose gas, Bright soliton, Quantum liquid, Ultracold atoms


1  On peut résoudre l'apparente contradiction entre l'hypothèse d'équilibre thermique et l'intégrabilité du système en thermalisant ce dernier par contact avec un gaz tampon d'une autre espèce chimique.
2  Même si l'on sait produire des boîtes de potentiel [[15]], il est utile de transposer notre étude au cas harmoniquement piégé, comme dans la référence pionnière [[16]].
3  Ces diffusions élastiques sont bien prises en compte par la référence [[13]] dans l'espace libre, mais n'ont pas d'influence sur le spectre ((2)), puisque les différents n -mères y sont asymptotiquement libres.
4  Au contraire du cas tridimensionnel, la diffusion d'une onde plane progressive sur un potentiel attractif à courte portée en dimension un tend vers sa réflexion totale à basse énergie, ce qui est hors du régime de Born.
5  On pourra consulter aussi la 14 .
6  Au même ordre d'approximation, on prédit une chaleur latente de changement d'état par particule  , puisque l'on passe d'un N -mère d'entropie   à un gaz atomique classique d'entropie  .
7  Sa fonction de partition vaut  , où   et la somme  , portant sur le nombre s de dimères, est exprimable en termes d'une fonction hypergéométrique,  .
8  On a utilisé  ,  .
9  En effet, soit la configuration ne comporte aucun n -mère de taille supérieure à  , auquel cas elle est dans le voisinage maximal du gaz monoatomique, soit il existe un tel n -mère, qui est alors seul dans cette catégorie, et la configuration est dans le voisinage maximal du N -mère.
10  Il suffit de poser  , si bien que  , avec   et  . Si l'on utilise ((31)) et un calcul numérique opto-dimérique (cf. le tireté sur la Fig. 1), on trouve pour   que ((34)) est déjà presque atteinte à  .
11  Cette condition d'unidimensionalité justifie aussi l'utilisation d'une interaction en δ de Dirac, du moins dans le cas habituel pour les atomes froids où la véritable interaction tridimensionnelle   est de portée négligeable par rapport à la distance moyenne entre particules [[3]]. En effet,   induit, en présence du confinement harmonique transverse, une interaction effective à une dimension de portée effective non nulle   [[22]], mais négligeable dans le régime de Born sous la condition suffisante  , où le vecteur d'onde relatif typique est ici  .
12  Les formes plus précises ((27)), ((28)) garantissent l'existence d'une solution   à l'équation   dès que  .
13  Pour aller au-delà de l'approximation poissonnienne, nous avons appliqué la méthode de Laplace à la somme   de la 7 , après utilisation de la formule de Stirling et remplacement de la somme sur s par une intégrale sur  . Alors   lorsque  , avec   et   est la racine de   sur  . On a toujours  , en accord avec la majoration ((19)) appliquée à  , et   si  .
14  En phase liquide, on peut appliquer la théorie de Bogolioubov au soliton brillant, si les quasi-particules de Bogolioubov, de spectre  , sont en nombre  , ce qui impose   si  , et donc   : dans la limite ((35)) à Ng fixé, la fonction de partition correspondante vérifie  , le terme dominant   à   est donc bien prédit par ((36)) ; la contribution à   du déphasage   dû au soliton [voir avant ((9))] tend bien vers zéro à grand N , comme  .
15  Comme dans [[25], [26]] on utilise un régulateur harmonique de pulsation ω , si bien que   où   est le spectre de   limité aux états pairs (bosoniques), solution de   [[27]] et   est le spectre correspondant pour  . Si   à   fixé,   et  , avec  . Si  ,   avec la même fonction  . Il reste à remplacer la somme sur q par une intégrale sur  , pour obtenir   donné dans le texte à  , et   (en accord avec [[28]]) à  .
16  En revanche, la fraction de dimères dans la phase gazeuse prédite par le modèle est en accord avec celle   déduite de  .


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