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Comptes Rendus Physique
Volume 7, n° 3-4
pages 360-372 (avril-mai 2006)
Doi : 10.1016/j.crhy.2006.05.005
Virial statistical description of non-extensive hierarchical systems
Description statistique du viriel de systèmes hiérarchiques non-extensifs

Daniel Pfenniger
Geneva Observatory, University of Geneva, CH-1290 Sauverny, Switzerland 


In a first part the scope of classical thermodynamics and statistical mechanics is discussed in the broader context of formal dynamical systems, including computer programmes. In this context classical thermodynamics appears as a particular theory suited to a subset of all dynamical systems. A statistical mechanics similar to the one derived with the microcanonical ensemble emerges from dynamical systems provided it contains, (1) a finite non-integrable part of its phase space which is, (2) ergodic at a satisfactory degree after a finite time. The integrable part of phase space provides the constraints that shape the particular system macroscopical properties, and the chaotic part provides well behaved statistical properties over a relevant finite time. More generic semi-ergodic systems lead to intermittent behaviour, thus may be unsuited for a statistical description of steady states.

Following these lines of thought, in a second part non-extensive hierarchical systems with statistical scale-invariance and power law interactions are explored. Only the virial constraint, consistent with their microdynamics, is included. No assumptions of classical thermodynamics are used, in particular extensivity and local homogeneity. In the limit of a large hierarchical range new constraints emerge in some conditions that depend on the interaction law range. In particular for the gravitational case, a velocity-size scaling relation is derived which is consistent with the ones empirically observed in the fractal interstellar medium. To cite this article: D. Pfenniger, C. R. Physique 7 (2006).

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Dans une première partie, le domaine de la thermodynamique classique et la mécanique statistique est repensé dans le contexte plus large des systèmes dynamiques formels, incluant les modèles informatiques. Dans ce contexte la thermodynamique classique apparaît comme une théorie particulière pour décrire un sous-ensemble de systèmes dynamiques. Une mécanique statistique semblable à celle décrite avec un ensemble microcanonique émerge pour un système dynamique sʼil a : (1) une partie finie non-intégrable de son espace des phases qui est (2) ergodique dans une mesure satisfaisante après un temps fini. La partie intégrable de lʼespace des phases fournit les contraintes qui structurent les propriétés macrospcopiques du système en question, et la partie chaotique fournit des propriétés statistiques régulières sur un temps fini approprié. Des systèmes semi-ergodiques plus génériques montrent un comportement intermittent, et donc impropre à une description statistique dʼétats stationnaires.

Suivant ces grandes lignes, nous explorons dans une deuxième partie des systèmes hiérarchiques non-extensifs, possédant une invariance dʼéchelle statistique et des interactions en loi de puissance. Uniquement la contrainte du viriel est prise en compte, en cohérence avec leur micro-dynamique. Aucune hypothèse de thermodynamique classique nʼest utilisée, en particulier lʼextensivité ou lʼhomogénéité locale. Dans la limite dʼune grande gamme de hiérarchies, de nouvelles contraintes émergent dans des conditions qui dépendent de la loi dʼinteraction. En particulier, pour le cas gravitationnel, une loi dʼéchelle reliant la taille et la vitesse peut être déduite, tout à fait compatible avec celle qui est observée dans le milieu interstellaire fractal. Pour citer cet article : D. Pfenniger, C. R. Physique 7 (2006).

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Keywords : Thermodynamics, Statistical mechanics, Non-extensive systems, Gravitating systems, Hierarchical systems

Mots-clés : Thermodynamique, Mécanique statistique, Systèmes non-extensifs, Systèmes de hiérarchies

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