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Comptes Rendus Physique
Volume 8, n° 5-6
pages 661-673 (juin 2007)
Doi : 10.1016/j.crhy.2007.05.013
Received : 25 April 2007 ; 
Nonequilibrium decay of the thermal diffusion in a tilted periodic potential
Décroissance de non-équilibre de la diffusion thermique dans un potentiel périodique incliné

Takaaki Monnai a, , Ayumu Sugita b , Katsuhiro Nakamura b
a Department of Applied Physics, Waseda University, 3-4-1 Okubo, Shinjuku-ku, Tokyo 169-8555, Japan 
b Department of Applied Physics, Osaka City University, 3-3-138 Sugimoto, Sumiyoshi-ku, Osaka 558-8585, Japan 

Corresponding author.

We investigate asymptotic decay phenomena towards the nonequilibrium steady state of the thermal diffusion in a periodic potential in the presence of a constant external force. The parameter dependence of the decay rate is revealed by investigating the Fokker-Planck (FP) equation in the low temperature case under the spatially periodic boundary condition (PBC). We apply the WKB method to the associated Schrödinger equation. While eigenvalues of the non-Hermitian FP operator are complex in general, in a small tilting case accompanied with local minima, the imaginary parts of the eigenvalues are almost vanishing. Then the Schrödinger equation is solved with PBC. The decay rate is analyzed in the context of quantum tunneling through a triple-well effective periodic potential. In a large tilting case, the imaginary parts of the eigenvalues of the FP operator are crucial. We apply the complex-valued WKB method to the Schrödinger equation with the absorbing boundary condition, finding that the decay rate saturates and depends only on the temperature, the period of the potential and the damping coefficient. The intermediate tilting case is also explored. The analytic results well agree with the numerical data for a wide range of tilting. Finally, in the case that the potential includes a higher Fourier component, we report the slow relaxation, which is taken as the resonance tunneling. In this case, we analytically obtain the Kramers type decay rate. To cite this article: T. Monnai et al., C. R. Physique 8 (2007).

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Nous examinons le phénomène de décroissance asymptotique vers lʼétat stationnaire de non-équilibre pour la diffusion thermique dans un potentiel périodique incliné en présence dʼune force externe constante. La dépendance paramétrique du taux de décroissance est mise en évidence en examinant lʼéquation de Fokker-Planck (FP) dans le cas de basse température sous des conditions aux bords périodiques spatiallement (CBP). Nous appliquons la méthode WKB à lʼéquation de Schrödinger associée. Alors que les valeurs propres de lʼopérateur de FP non-hermitien sont en général complexes, les parties imaginaires des valeurs propres sont presque nulles dans le cas dʼune petite inclinaison accompagnée par des minima locaux. Lʼéquation de Schrödinger est alors résolue avec les CBP. Le taux de décroissance est analysé dans le contexte de lʼeffet tunnel quantique à travers un potentiel périodique effectif avec trois puits. Dans le cas dʼune grande inclinaison, les parties imaginaires des valeurs propres de lʼopérateur de FP sont cruciales. Nous appliquons la méthode WKB sur les complexes à lʼéquation de Schrödinger avec des conditions aux bords absorbants. Nous trouvons que le taux de décroissance sature et dépend seulement de la température, de la période du potentiel et du coefficient dʼamortissement, respectivement. Le cas dʼune inclinaison intermédiaire est aussi exploré. Les résultats analytiques sont en bon accord avec les données numériques sur un large domaine dʼinclinaison. Finalement, dans le cas où le potentiel inclut une composante de Fourier dʼordre supérieur, nous mettons en évidence une relaxation lente qui est comprise comme un phénomène de résonance dʼeffet tunnel. Dans ce cas, nous obtenons analytiquement le taux de décroissance du type de Kramers. Pour citer cet article : T. Monnai et al., C. R. Physique 8 (2007).

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Keywords : Decay rate, Thermal diffusion, Tilted periodic potential, WKB analysis, Fokker-Planck equation, Resonance tunneling

Mots-clés : Taux de décroissance, Diffusion thermique, Potentiel périodique incliné, Analyse WKB, Équation de Fokker-Planck, Résonance dʼeffet tunnel

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