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Comptes Rendus Physique
Volume 5, n° 1
pages 91-106 (janvier-février 2004)
Doi : 10.1016/j.crhy.2004.01.006
Kinetic theory and Bose-Einstein condensation

Colm  Connaughton * ,  Yves  Pomeau
Laboratoire de physique statistique de l'École normale supérieur, associé au CNRS, 24, rue Lhomond, 75231 Paris cedex 05, France 

*Corresponding author.

In this article we discuss the role played by kinetic theory in describing the non-equilibrium dynamics of dilute systems of weakly interacting bosons. We illustrate how a simple kinetic equation for the time evolution of the spectral particle density can be derived from the spatially homogeneous Gross-Pitaevskii equation. This kinetic equation agrees with the usual Boltzmann-Nordheim equation of quantum kinetic theory in the long wavelength limit where the occupation numbers are expected to be large. The stationary solutions of the Gross-Pitaevskii kinetic equation are described. These include both thermodynamic equilibrium spectra and finite flux Kolmogorov-Zakharov spectra. These latter spectra are intrinsically nonequilibrium states and are expected to be relevant in the transfer of particles to low momenta in the initial stage of the condensation process. This is illustrated by some computations of a solution of the kinetic equation beginning with initial conditions far from equilibrium. The solution generates a flux of particles from large to small momenta which results in a singularity at zero momentum within finite time. We interpret this singularity as incipient condensate formation. We then present some numerical results on the post-singularity dynamics and the approach to equilibrium. Contrary to our original expectations we do not observe the Kolmogorov-Zakharov spectrum during the period of condensate growth. In the closing sections we address the issue of the connection between the Gross-Pitaevskii and Boltzmann-Nordheim kinetic equations. We argue that the two equations have differing regimes of applicability in momentum space, matching in an intermediate range. We make some suggestions of how this matching can be modeled in practice. To cite this article: C. Connaughton, Y. Pomeau, C. R. Physique 5 (2004).


Dans cet article nous discutons le rôle joué par la théorie cinetique dans la dynamique hors équilibre d'un gaz de Bose dilué avec des interactions faibles. Nous montrons comment arriver à une équation cinétique assez simple pour l'évolution temporelle de la densité spectrale des particules en commençant avec l'équation de Gross-Pitaevskii pour le cas spatialement homogène. Cette équation cinétique est en accord avec l'équation de Boltzmann-Nordheim de la théorie cinétique quantique dans la limite où les longueurs d'onde sont grandes et on prévoit que les nombres de particules soient grands aussi. Les spectres stationaires de l'équation cinétique de Gross-Pitaevskii sont décrits. Ils comprennent des spectres d'équilibre thermodynamique et des spectres qui supportent des flux finis dit spectres de Kolmogorov-Zakharov. Ces derniers spectres sont essentiellement des objets hors-équilibre et on suppose qu'ils sont importants dans l'apport des particules au moments faibles dans les premières étapes du processus de condensation. Ce point est illustré avec des calculs numériques de l'équation cinétique qui commencent avec des données qui sont loins de l'équilibre. La solution crée un flux de particules des moments élevés aux petits pour qu'une singularité se déclenche en temps fini au moment nul. Nous interprétons cette singularité comme le commencement du condensat. Ensuite quelques calculs numériques de la dynamique après le temps de singularité et l'approche à l'équilibre sont presentés. Contre nos intuitions le spectre de Kolmogorov-Zakharov n'est pas observé pendant la croissance du condensat. Enfin nous discutons les liens entre la théorie cinétique de Gross-Pitaevskii et celle de Boltzmann-Nordheim. Nous proposons que les deux équations ont des domaines d'applicabilité différents dans l'espace des moments et qu'il faut faire un raccordement dans un domaine intermédiaire. Nous présentons nos idées pour construire un modèle pratique qui pourrait faire cela. Pour citer cet article : C. Connaughton, Y. Pomeau, C. R. Physique 5 (2004).

Mots clés  : Kinetic theory ; Bose-Einstein condensation.

Mots clés  : Théorie cinétique ; Condensats de Bose-Einstein.

© 2004  Published by Elsevier Masson SAS de la part de Académie des sciences.

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