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Comptes Rendus Physique
Volume 19, n° 5
pages 316-336 (juillet 2018)
Doi : 10.1016/j.crhy.2018.04.001
Unsolicited articles / Articles non sollicités

Temps de cohérence d'un condensat de Bose–Einstein dans un gaz isolé harmoniquement piégé
Coherence time of a Bose–Einstein condensate in an isolated harmonically trapped gas
 

Yvan Castin , Alice Sinatra
 Laboratoire Kastler Brossel, ENS-PSL, CNRS, Sorbonne Université et Collège de France, Paris, France 

Auteur correspondant.
Résumé

Nous étudions la dynamique de phase à l'équilibre d'un condensat dans un gaz de bosons en interaction faible harmoniquement piégé et isolé de l'environnement. Nous trouvons qu'au bout d'un temps long devant le temps de collision typique entre les quasi-particules de Bogolioubov, la variance du déphasage du condensat comporte en général un terme balistique quadratique en temps et un terme diffusif affine en temps. Nous donnons des expressions analytiques des coefficients correspondants, à la limite d'un grand système, dans le régime faiblement collisionnel et dans l'approximation ergodique pour le mouvement des quasi-particules. Correctement adimensionnés, ils sont décrits, tout comme les taux d'amortissement des modes, par des fonctions universelles de la température ramenée au potentiel chimique de Thomas–Fermi du condensat. Cette classe d'universalité diffère de celle précédemment étudiée du gaz spatialement homogène.

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Abstract

We study the condensate phase dynamics in a low-temperature equilibrium gas of weakly interacting bosons, harmonically trapped and isolated from the environment. We find that at long times, much longer than the collision time between Bogoliubov quasi-particles, the variance of the phase accumulated by the condensate grows with a ballistic term quadratic in time and a diffusive term affine in time. We give the corresponding analytical expressions in the limit of a large system, in the collisionless regime and in the ergodic approximation for the quasi-particle motion. When properly rescaled, they are described by universal functions of the temperature divided by the Thomas–Fermi chemical potential. The same conclusion holds for the mode damping rates. Such universality class differs from the previously studied one of the homogeneous gas.

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Mots-clés : Gaz de bosons, Condensat de Bose–Einstein, Cohérence temporelle, Gaz piégés, Atomes froids

Keywords : Bose gases, Bose–Einstein condensate, Temporal coherence, Trapped gases, Ultracold atoms


1  Rappelons les hypothèses utilisées dans la référence [[18]] pour établir l'équation ((4)). (i ) Les fluctuations relatives du module de   sont faibles, le système étant fortement condensé de Bose.   Le système est suffisamment proche de la limite thermodynamique, avec des fluctuations normales et des lois asymptotiquement gaussiennes pour l'énergie et le nombre de particules. Ceci sert, en particulier, à mettre la contribution balistique du déphasage à   sous la forme ((4)).   Le coefficient de diffusion de la phase (d'ordre  ) doit être beaucoup plus faible que le taux de collision typique   entre quasi-particules de Bogolioubov (d'ordre  ), mais beaucoup plus grand que l'espacement des niveaux d'énergie (d'ordre  ) des paires de quasi-particules créées ou annihilées lors des processus de collision Beliaev–Landau. Ceci sert, pour un système préparé dans l'ensemble microcanonique, à montrer que   est de la forme ((4)) sur les intervalles de temps   et  , avec le même coefficient de diffusion.   La fonction de corrélation de   est réelle, comme le prédisent les équations cinétiques. (v ) On néglige le commutateur de   avec  , ce qui introduit une erreur de phase   dans le facteur  . C'est une erreur d'ordre unité aux temps  , mais   a alors commencé à décroître sous l'effet de la diffusion de phase dans l'ensemble microcanique (et s'est sinon déjà très fortement amortie sous l'effet du brouillage de phase balistique au bout d'un temps  ).
2  Le projecteur Q , projetant sur un espace de codimension un, peut être omis à la limite thermodynamique.
3  Le cas d'un piège harmonique anisotrope se ramène au cas isotrope traité dans [[29]] par le changement de variable de jacobien unité  , avec  , tel que  .
4  L'expression générale ((16)) de A est un peu délicate à appréhender. En effet, comme l'énergie du fondamental dépend de N , des fluctuations de N entraînent mécaniquement des fluctuations d'énergie. Par exemple, si N fluctue à   (dans chaque sous-espace à N fixé, le système est dans l'état fondamental), on peut, pour retrouver   de l'équation ((30)) à partir de l'équation ((16)), utiliser le fait que   et que  , dont le report dans ((20)) donne  .
5  On préfère parfois prendre comme petit paramètre  , où la longueur de relaxation ξ du condensat au centre du piège est telle que  . On peut passer aisément d'un petit paramètre à l'autre à l'aide de la relation  .
6  Dans la fenêtre de valeurs de la Fig. 1, en pratique  , l'inclusion des termes sous-dominants ne rapproche pas utilement du résultat exact.
7  Le théorème est ici généralisé au cas d'un opérateur   non hermitien,   étant le vecteur dual du vecteur propre   de  .
8  Les processus à quatre quasi-particules, d'ordre supérieur en la fraction non condensée, sont supposés ici négligeables.
9  Ces diagrammes font intervenir de manière cachée des processus d'absorption ou d'émission stimulée dans le mode du condensat.
10  À strictement parler, cette solution stationnaire correspond aux nombres d'occupation moyens dans l'ensemble canonique, plutôt que dans l'ensemble microcanonique. La différence, calculable comme dans l'appendice C de la référence [[16]], mais hors de portée de nos équations cinétiques, tend vers zéro à la limite thermodynamique et est négligeable ici. On notera aussi que la non-conservation du nombre total de quasi-particules par les processus Beliaev–Landau impose à la loi de Bose   d'avoir une fugacité unité.
11  Le plus simple est de moyenner les équations cinétiques complètes ((51)), puis de linéariser le résultat autour de la solution stationnaire ((55)).
12  Pour obtenir ((69)), on a réduit l'équation ((68)) à une intégrale simple sur le module r (après s'être ramené formellement au cas d'un piège isotrope comme dans la note 3 ) en intégrant en coordonnées sphériques sur p , q et sur u , le cosinus de l'angle entre p et q. Dans  , l'argument du troisième Dirac s'annule en un point   et un seul, compte tenu des inégalités   satisfaites par la relation de dispersion de Bogolioubov  ,  .
13  La raison profonde de l'apparition de cette dérivée est donnée dans la référence [[16]]. Elle explique pourquoi les équations cinétiques permettent de retrouver dans l'ensemble canonique le terme balistique   de l'équation ((15)) avec la bonne expression du coefficient  .
14  Pour que cette projection soit compatible avec l'évolution cinétique linéarisée, il faut en effet que la direction de projection ainsi que l'hyperplan sur lequel on projette soient invariants par évolution temporelle, le second point étant assuré par la conservation de l'énergie. La forme de   découle du fait que ((55)) reste une solution stationnaire pour une variation infinitésimale de β ,  , autour de sa valeur physique.
15  Dans une première étape, on montre que les résultats ne peuvent dépendre des pulsations de piégeage   que par l'intermédiaire de leur moyenne géométrique  . Ceci est une conséquence assez directe de l'hypothèse ergodique et du fait que les observables mises en jeu ici, dont le hamiltonien, dépendent seulement de la position r des quasi-particules via le potentiel de piégeage  . Dans l'intégrale   participant à la moyenne ergodique, on peut alors effectuer le changement de variables isotropisant de la note 3 .
16  Pour  ,   présente un maximum trompeur au voisinage de   d'environ 5% supérieur à sa limite en  .
17  On a pris soin de tenir compte de la projection sur le sous-espace microcanonique des fluctuations d'énergie nulle non seulement dans la condition initiale ((74)), mais aussi dans la contraction par   dans ((70)), en y remplaçant   par   ; cette précaution, optionnelle dans la formulation exacte, ne l'est plus ici puisque l'approximation viole la conservation de l'énergie.
18  En revanche, la valeur prédite pour le coefficient   dans ((78)) pour  , soit  , diffère significativement de la valeur   constatée numériquement.
19  Un calcul plus précis conduit à remplacer dans ((83)) le symbole ∼ par = et le facteur   par  .
20  Les équations du mouvement ((39)), ((40)), mises dans leur ensemble sous la forme  , sont intégrées numériquement avec un schéma semi-implicite du second ordre,  , où M est la différentielle première de   en   [[38]]. Si la trajectoire traverse la surface du condensat entre t et  , il faut déterminer l'instant   de la traversée avec une erreur  , puis appliquer le schéma semi-implicite successivement sur   et  , pour pallier la discontinuité de   et de ses dérivées.
21  La trajectoire linéaire d'une quasi-particule d'énergie ϵ selon l'axe propre Oα du piège s'écrit   et   avec  . Ceci correspond au choix   et vaut pour  , où le temps d'atteinte de la surface du condensat est donné par  . À l'extérieur du condensat, la quasi-particule oscille harmoniquement comme une particule libre pendant un temps   avant de regagner le condensat, pour le traverser en un temps  , et ainsi de suite. La connaissance de la trajectoire rend immédiate l'analyse linéaire de stabilité numérique. Elle permet aussi de calculer analytiquement la moyenne temporelle de   sur la trajectoire linéaire ; si l'on pose  , le résultat s'écrit :
dϵ(r,p)dμTF‾=ln⁡1+ϵˇ+2ϵˇ(1+ϵˇ2)1/2−2atanϵˇacosϵˇ−1(1+ϵˇ2)1/2+2atanϵˇ

22  Faut-il le rappeler,  , la moyenne uniforme étant invariante par évolution temporelle. Du coup, l'inégalité entre moyenne harmonique et moyenne arithmétique impose  .
23  À l'ordre dominant en ϵ , on obtient   en moyennant l'équivalent ((97)) (dans lequel  ) sur une trajectoire harmonique non perturbée par le condensat,  ,  . Considérons astucieusement la quantité   à moyenner comme une fonction   des angles  . C'est une fonction périodique de période 2π selon chaque direction, décomposable en série de Fourier,  . Dans le cas incommensurable,   et la moyenne temporelle de   est nulle  , si bien que  . Dans l'habituelle expression intégrale de  , on effectue le changement de variable  , où   et   est l'énergie du mouvement selon . Il reste à faire tendre les   vers +∞ sous le signe intégral pour obtenir
ħΓ(r,p)‾μTF[ρ0(0)a3]1/2∼ϵ→+∞32215π3/2(ϵμTF)1/2∏α(μTFϵα)1/2 En moyennant l'inverse de cet équivalent sur la distribution de probabilité   des énergies par direction pour un oscillateur harmonique d'énergie totale ϵ , on tombe sur ((89)).

24  En pratique, la fonction ϕ se déduit de l'équation ((57)) en effectuant l'approximation de champ classique  . Dans le calcul numérique de  , effectué en prenant   comme variable d'intégration, on réduit l'effet de la troncature numérique à l'aide du développement asymptotique  , qui corrige et améliore celui de l'équation (35) de la référence [[39]].


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